立体几何画图方法
Lazy_Labs
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2025-05-23 23:29:40
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学习·文化课
建议直接看 4. 之后的内容！
※ 比较关键，其它基本都是 trivial 的。
我们在中学都学过斜二测画法：
0.斜二测画法
将 y 轴与 x 轴 \theta 角放置，且 y 轴上的边长变为原来的 k。
在中学中，我们学习的是 \theta=\dfrac\pi4,k=\dfrac12。
依此，我们可以画出一个中学中常见的正方体等等。
[图0-1.png]_todo
当然，还有投影等等画法，但我们先以最常见的斜二测画法来叙述（容易发现，其就是视点距离平面无限远时的结果）。
# 1.坐标轴
对于三个坐标轴，只需确定 $xz$ 轴单位长度（用 $I$ 点指定），$y$ 轴 $(0,1,0)$ 位置（$Y$ 点决定）即可。
[图1-1.png]_done
依此，我们可以构建出所有形如 $(k,0,0),(0,k,0),(0,0,k)$ 的点。
# 3/2.性质
在投影画法中，我们显然有：
两线交点不变，即在三维中两条线相交于一点，则投影中仍然相交于同一点（有可能位于无穷远处）。
两点交线不变，同上。
用以上这两则性质，我们就可以很容易的用相交线作出点或线在画上的位置。
在斜二测画法中，我们更有：
平行线仍然平行，平行线上比例不变。
# ※4/3.规定
两点连线用 $(A,B)$ 或直接写 $AB$。
两线交点用 $[l_1,l_2]$。
过 $A$ 作 $BC$ 平行线 $AD$（或 $l$） 记为 $BC \overset A\to D(l)$。
坐标 $(x,y)$ 代表画上的坐标，$(x,y,z)$ 代表原空间中的坐标。
两个相同的东西应当是相同标签的。
$l_x,l_y,l_z$ 表示 $x,y,z$ 轴。
$A_{xy}$ 表示将 $A$ 的 $z$ 坐标置 $0$。其余同理。
$l_{xyA}$ 表示 $(A_{xy},A)$。其余同理。
# 2.点
对于坐标轴建立好的图，我们对一个空间中的点 $A(x,y,z)$，一般有以下步骤：
## 2.0 画法
一般用平行于 $l_x,l_y,l_z$ 的三条虚线表示点，作法如下。
[图2.0-1]_done
作 $A(x,y,z)$。
## 2.1 方法 1
$$(x,0,z)\to(x,y,z)$$
可以直接在画上标出 $A_{xz}=(x,z)$ 再作 $l_y\overset {A_{xz}}\to A$，然后以比例作图。或直接计算出坐标。
常用于画图软件。
## 2.2 方法 2
$$(x,0,0)\to(x,y,0)\to(x,y,z)$$
先找到 $A_x(x,0,0)$ 再引平行线及比例找到 $A_{xy}(x,y,0)$ 最后找到 $A(x,y,z)$。在手绘中常用，保留 $A_x\to A_{xy} 和 A_{xy}\to A$ 两条虚线即可。
[图 2.2-1]_(5,2,1)_done
## 2.3 例子
比如作边长为 $1$ 的正方体。
[图 2.3-1.png]_todo
作边长为 $\sqrt2$ 的正方体中内嵌的正四边形。
[图 2.3-2.png]_todo
我想不到啥横平竖直的了。
## 2.4 注意
容易发现，不同的点很容易重合！如 $(0,y,0)$ 和 $(y/2\sqrt2,0,y/2\sqrt2)$ 就重合。当然这不可避免。
## 2.5 特别的
有些点可能不能被用坐标表示，如知道两点取中点等间接点。
这些东西就见仁见智了，最好找到对 $xOy$ 的投影。
## 2.6 线交点
考虑两个 线的投影 的交点 就是 交点的投影。
# 3.线，边
没啥好说的，用两点交线，直接连接两条边就行。
容易发现原来在这条线上的，现在还在这条线上，比例也相同。
用这个可以做出一些简单的图形，比如 $2.3$ 中的例子。
# 4.简单平面
$xOz$ 和 $xOy$ 比较关键。
另一个不管。
## 4.1 $xOz$ 平面
是标准的直角坐标系。
### 4.1.0 画法 & 4.1.1 作法
没啥好说的
### 4.1.2 判断点面关系
给点 $A$。
看是否有 $A_x\to A_{xy}$ 线即可。
### ※4.1.3 作出线面交点
给线 $AB$。作 $C$。
1. ${AB}_{xy}=(A_{xy},B_{xy})
C_{xy}=[AB_{xy},l_x]
C=[l_{xyC},AB]
[图 4.1.3-1]_两点异侧_done
[图 4.1.3-2]_两点同侧_todo
这个证明比较容易，读者自证不难。
用这个方法可以作出任意垂直于垂直于 xOy 平面的面线交点。
4.1.4 线面关系
trivial，不赘述，后不再叙。
4.1.5 面面交线
trivial，不赘述，后不再叙。
4.2 xOy 平面
### 4.2.0 画法 & 4.2.1 作法
没啥好说的
### 4.2.2 判断点面关系
给点 $A$。
看是否有 $A\to A_{xy}$ 线即可。
### ※※4.2.3 作出线面交点
给线 $AB$。作 $C$。
1. ${AB}_{xy}=(A_{xy},B_{xy})
C=[AB_{xy},AB]
[图 4.2.3-1]_todo
5.一般平面
一般用 \alpha,\beta 等表示。
5.0 画法
一般连接三点即可。
但要让其更好看，可以固定一点 A，用 4.2.3 延长两边交 xOy 于交线 l_{xy\alpha}=BC。
那么用 ABC 表示平面 \alpha。
特别地，若交于无穷远点，则直接作平行就行。
5.1 作法
没啥好说的，三点确定一个平面。
※5.2 作出面特面交线
给平面 \alpha=ABC 和垂直于 xOy 的平面 \beta，求交线 l_{\alpha\beta}。
D=\beta \cap AB [4.1.3]
l_{\alpha\beta}=(D,[BC,\beta])
[图 5.2-1]_done
※※5.3 作出面线交点
给平面 \alpha=ABC 和 l，求交点 P。
l\in\beta\perp xOy
l_{\alpha\beta}=\alpha\cap\beta
D=[l_{\alpha\beta},l]
[图 5.3-1]_done
※5.4 特殊方法
假设你知道 l 上一点 A 与 y 轴的平行线和 \alpha 的交点 A_{\alpha y}，其它两轴同理。
我们称其为“灭点”。
考虑一个平行于 y 轴的线 l，显然其经过 A 的投影（即过 l 和 A 的平面和 \alpha 的交线）一定经过 A_{\alpha y}。那么只需要再将其与 A 的交点求出，就可以作出这个交线了。
那么平行于其它轴的线也同理。依此，我们就可以作出很多东西了。
[图 5.4-1]_done
6.投影
咕咕咕
-1. 垂直，角度
感觉没啥可能性只用交点完成，一条线，最多只能作出一个平行于 xOz 平面的垂线，没法作出一个平面啊。
大家有啥高论欢迎评论，暂时完结了。